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⑤普通年金終值

A=100,、i=10%,、n=5

F=A×[(1+i)ⁿ-1]/i

式中[(1+i)ⁿ-1]/i 為年金終值系數(shù)(教材附表3)

記作(F/A,i,n);n 為計(jì)算利息的期數(shù)。

【教材例2-10】2018年1月16日,，某人制定了一個(gè)存款計(jì)劃,，計(jì)劃從2019年1月16日開始，每年存入銀行10萬元,，共計(jì)存款5次,，最后一次存款時(shí)間是2023年1月16日。每次的存款期限都是1年,，到期時(shí)利息和本金自動(dòng)續(xù)存,。假設(shè)存款年利率為2%，打算在2024年1月16日取出全部本金和利息,。

【分析】本例中,，“每次的存款期限是1年，到期時(shí)利息和本金自動(dòng)續(xù)存”意味著是“復(fù)利按年計(jì)息”,。所以：

2019年1月16日的10萬元存款在2024年1月16日的本利和=10×(1+2%)⁵

2020年1月16日的10萬元存款在2024年1月16日的本利和=10×(1+2%)⁴

2021年1月16日的10萬元存款在2024年1月16日的本利和=10×(1+2%)³

2022年1月16日的10萬元存款在2024年1月16日的本利和=10×(1+2%)²

2023年1月16日的10萬元存款在2024年1月16日的本利和=10×(1+2%)

在2024年1月16日取出的全部本金和利息

=10×(1+2%)+10×(1+2%)²+10×(1+2%)³+10×(1+2%)⁴+10×(1+2%)⁵

對(duì)照普通年金終值的公式

F=A×(F/A,i,n)=A+A(1+i)+A(1+i)²+…+A(1+i)^n-1

可知,，本題并不是普通年金終值計(jì)算問題。但是可以間接利用普通年金終值計(jì)算公式,。

由于,

10×(1+2%)+10×(1+2%)²+10×(1+2%)³+10×(1+2%)⁴

+10×(1+2%)⁵=[10+10×(1+2%)+10×(1+2%)²

+10×(1+2%)³+10×(1+2%)⁴]×(1+2%)

所以,，在2024年1月16日取出的全部本金和利息=10×(F/A,2%,5)×(1+2%)=10×5.2040×1.02=53.08(萬元)

10×(F/A,2%,5)表示的是在2023年1月16日的全部本金和利息合計(jì)。

假設(shè)2018年1月16日為0時(shí)點(diǎn),，則本題的計(jì)算過程可以用圖示表示如下(見圖2-11),。

【例題·單選題】某公司從本年度起每年年末存入銀行一筆固定金額的款項(xiàng),，若按復(fù)利計(jì)算第n年末可以從銀行取出的本利和，則按最簡(jiǎn)便的計(jì)算,，應(yīng)選用的時(shí)間價(jià)值系數(shù)是(　　),。

A.復(fù)利終值系數(shù)

B.復(fù)利現(xiàn)值系數(shù)

C.普通年金終值系數(shù)

D.普通年金現(xiàn)值系數(shù)⑥預(yù)付年金終值

【答案】C

【解析】利用年金終值公式計(jì)算最為簡(jiǎn)便。

⑥預(yù)付年金終值

【方法一】n=5

【方法二】n=5

【教材例2-11】2018年1月16日,，某人制定了一個(gè)存款計(jì)劃,，計(jì)劃從2018年1月16日開始，每年存入銀行10萬元,，共計(jì)存款5次，最后一次存款時(shí)間是2022年1月16日,。每次的存款期限都是1年,，到期時(shí)利息和本金自動(dòng)續(xù)存。假設(shè)存款年利率為2%,，打算在2023年1月16日取出全部本金和利息,。

【分析】

2018年1月16日的10萬元存款在2023年1月16日的本利和=10×(1+2%)⁵

2019年1月16日的10萬元存款在2023年1月16日的本利和=10×(1+2%)⁴

2020年1月16日的10萬元存款在2023年1月16日的本利和=10×(1+2%)³

2021年1月16日的10萬元存款在2023年1月16日的本利和=10×(1+2%)²

2022年1月16日的10萬元存款在2023年1月16日的本利和=10×(1+2%)

在2023年1月16日取出的本部本金和利息

=10×(1+2%)+10×(1+2%)²+10×(1+2%)³+10×(1+2%)⁴+10×(1+2%)⁵

對(duì)照預(yù)付年金終值F=A×(F/A，i,，n)×(1+i)

=A(1+i)+A(1+i)²+……+A(1+i)ⁿ可知：

在2023年1月16日取出的全部本金和利息

=10×(F/A,，2%，5)×(1+2%)=10×5.2040×1.02=53.08(萬元)

【提示】如果本題要求計(jì)算在2022年1月16日取出的全部本金和利息,，則按照10×(F/A,2%,5)計(jì)算,。

【例題·多選題】下列各項(xiàng)中，其數(shù)值等于即付年金終值系數(shù)的有(　　),。

A.(P/A,，i，n)×(1+i)

B.[(P/A,，i,，n-1)+1]

C.(F/A，i,，n)×(1+i)

D.[(F/A,，i，n+1)-1]

【答案】CD

【解析】選項(xiàng)C,、D是預(yù)付年金終值系數(shù)的表達(dá)式,。

⑦遞延年金終值

(4)年償債基金和年資本回收額

①償債基金的計(jì)算

A=F/(F/A，i,，n)

償債基金系數(shù)1/ (F/A,，i，n)

與年金終值系數(shù)(F/A,，i,，n)

互為倒數(shù)

【教材例2-13】某家長(zhǎng)計(jì)劃10年后一次性取出50萬元，作為孩子的出國(guó)費(fèi)用。假設(shè)銀行存款年利率為5%,，復(fù)利計(jì)息,，該家長(zhǎng)計(jì)劃1年后開始存款，每年存一次,，每次存款數(shù)額相同,，共計(jì)存款10次。

【分析】假設(shè)每次存款的數(shù)額為A萬元,，則有：

A×(F/A,，5%，10)=50

A×12.578=50

A=3.98萬元

②資本回收額的計(jì)算

A=P/(P/A,，i,，n)

資本回收系數(shù)1/(P/A，i,，n)

與年金現(xiàn)值系數(shù)(P/A,，i，n)

互為倒數(shù)

【教材例2-14】某人于20×8年1月25日按揭貸款買房,，貸款金額為100萬元,，年限為10年，年利率為6%,，月利率為0.5%,，從20×8年2月25日開始還款，每月還一次,，共計(jì)還款120次,，每次還款的金額相同。

【分析】由于100萬元是現(xiàn)在的價(jià)值,，所以,，本題屬于已知普通年金現(xiàn)值求年金，屬于年資本回收額計(jì)算問題,。

假設(shè)每次還款金額為A萬元,，則有：

100=A×(P/A，0.5%,，120)

A=100÷(P/A,，0.5%，120)

其中(P/A,，0.5%,，120)的數(shù)值無法在教材后面的附表中查到，可以根據(jù)(P/A,，i,，n)的數(shù)學(xué)表達(dá)式用計(jì)算器或計(jì)算機(jī)計(jì)算,。計(jì)算結(jié)果

(P/A，0.5%,，120)=90.08,，所以：

A=100÷90.08=1.11(萬元)

即每月的還款額為1.11萬元。

【例題·單選題】下列各項(xiàng)中,，與普通年金終值系數(shù)互為倒數(shù)的是(　　),。

A.預(yù)付年金現(xiàn)值系數(shù)

B.普通年金現(xiàn)值系數(shù)

C.償債基金系數(shù)

D.資本回收系數(shù)

【答案】C

【解析】?jī)攤鹣禂?shù)與普通年金終值系數(shù)互為倒數(shù)，選項(xiàng)C正確,。

【例題·多選題】下列關(guān)于資金時(shí)間價(jià)值系數(shù)關(guān)系的表述中,，正確的有(　　)。

A.普通年金現(xiàn)值系數(shù)×資本回收系數(shù)=1

B.普通年金終值系數(shù)×償債基金系數(shù)=1

C.普通年金現(xiàn)值系數(shù)×(1+折現(xiàn)率)=預(yù)付年金現(xiàn)值系數(shù)

D.普通年金終值系數(shù)×(1+折現(xiàn)率)=預(yù)付年金終值系數(shù)

【答案】ABCD

【解析】本題考察資金時(shí)間價(jià)值系數(shù)之間的聯(lián)系,，選項(xiàng)ABCD均正確,。

知識(shí)點(diǎn)3　利率的計(jì)算

【原理】直線上的三個(gè)點(diǎn)任意兩點(diǎn)橫坐標(biāo)差額之比與對(duì)應(yīng)縱坐標(biāo)差額之比相等。(相似三角形線性等比關(guān)系)

【應(yīng)用】假設(shè)利率與系數(shù),、現(xiàn)值,、終值存在線性關(guān)系

(一)現(xiàn)值或終值系數(shù)已知的利率計(jì)算

步驟如下：

1.查閱相應(yīng)的系數(shù)表,，如果能在系數(shù)表中查到相應(yīng)的數(shù)值,，則對(duì)應(yīng)的利率就是所求的利率。

2.如果在系數(shù)表中無法查到相應(yīng)的數(shù)值,，則可以使用內(nèi)插法(也叫插值法)計(jì)算,。

假設(shè)所求利率為i，i對(duì)應(yīng)的現(xiàn)值(或者終值)系數(shù)為B,，B₁,、B₂為現(xiàn)值(或者終值)系數(shù)表中B相鄰的系數(shù)，i₁,、i₂為B₁,、B₂對(duì)應(yīng)的利率。

【提示】在寫線性等比關(guān)系式時(shí),，也可以改變數(shù)字順序,，只要左右保持對(duì)稱(保持參數(shù)對(duì)應(yīng)關(guān)系)，計(jì)算的結(jié)果均是正確的,。

【教材例2-15】已知(P/F,，i，5)=0.7835,，求i的數(shù)值,。

【分析】查閱復(fù)利現(xiàn)值系數(shù)表可知，在期數(shù)為5的情況下,，利率為5%的復(fù)利現(xiàn)值系數(shù)為0.7835,，所以,，i=5%。