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年金的現(xiàn)值和終值公式推導(dǎo)

來(lái)源:東奧會(huì)計(jì)在線(xiàn) 責(zé)編:劉佳慧 2024-11-08 17:42:02

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東奧注冊(cè)會(huì)計(jì)師

2024-11-08 17:42:02

年金的現(xiàn)值和終值公式推導(dǎo)

年金終值公式推導(dǎo)

年金終值是指在一定的時(shí)間周期內(nèi)每年定期投資一定金額后,計(jì)算出該周期結(jié)束后的投資總額,。

假設(shè)每年支付的金額為PMT,,年利率為r,投資期限為n年。第一年結(jié)束時(shí),,將收到PMT元錢(qián),,將其投資,可以得到PMT×(1+r)元錢(qián),。第二年結(jié)束時(shí),,將再次收到PMT元錢(qián),將其投資,,可以得到PMT×(1+r)n元錢(qián),。

因此,年金終值FV為:

FV=PMT×(1+r)(n-1)+...+PMT×(1+r)

上述公式是一個(gè)等比數(shù)列的和,,其首項(xiàng)為PMT,,公比為(1+r),,項(xiàng)數(shù)為n。利用等比數(shù)列求和公式,,可以將其化簡(jiǎn)為:

FV=PMT×(((1+r)^n)-1)÷r

年金現(xiàn)值公式推導(dǎo)

年金現(xiàn)值是指將未來(lái)一段時(shí)間內(nèi)的一系列現(xiàn)金流折算成當(dāng)前時(shí)點(diǎn)的價(jià)值,。

年金現(xiàn)值公式可以由年金終值公式推導(dǎo)出來(lái)。假設(shè)現(xiàn)在的時(shí)點(diǎn)為0,,未來(lái)的n個(gè)時(shí)點(diǎn)分別為1,,2,...,,n,。年金終值FV是在n時(shí)點(diǎn)上的價(jià)值,而年金現(xiàn)值PV是在0時(shí)點(diǎn)上的價(jià)值,。

根據(jù)復(fù)利公式,,n時(shí)點(diǎn)上的1元錢(qián)在0時(shí)點(diǎn)上的價(jià)值為(1+r)^(-n)。因此,,n時(shí)點(diǎn)上的PMT元錢(qián)在0時(shí)點(diǎn)上的價(jià)值為PMT×(1+r)^(-n),。同理,n-1時(shí)點(diǎn)上的PMT元錢(qián)在0時(shí)點(diǎn)上的價(jià)值為PMT×(1+r)^(-(n-1)),,以此類(lèi)推,。

因此,年金現(xiàn)值PV為:

PV=PMT×(1+r)^(-n)+PMT×(1+r)^(-(n-1))+...+PMT×(1+r)^(-1)

上述公式同樣是一個(gè)等比數(shù)列的和,,其首項(xiàng)為PMT×(1+r)(-1),,項(xiàng)數(shù)為n。但注意到這里的等比數(shù)列是遞減的,,所以求和時(shí)需要稍作調(diào)整,。將其化簡(jiǎn)后得到:

PV=PMT×((1-(1+r)^(-n))÷r)

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