2024年注冊(cè)會(huì)計(jì)師預(yù)習(xí)階段已經(jīng)開始,，《財(cái)管》科目已經(jīng)進(jìn)入第一周的預(yù)習(xí)計(jì)劃,。上一篇文章,，東奧帶您了解了“復(fù)利終值和現(xiàn)值”，本文我們一起預(yù)習(xí)一下“年金終值和現(xiàn)值”,。兩者概念相近，且都涉及公式內(nèi)容,，本文將加入部分圖解,，更便于同學(xué)們捋順邏輯,，一起看一下吧,。

年金終值和現(xiàn)值

1．年金的含義

年金是指等額,、定期的系列收付款項(xiàng)。

2．普通年金終值和現(xiàn)值

（1）普通年金的含義,。

普通年金又稱后付年金，是指各期期末收付的年金,。如下圖所示：

（2）普通年金終值。

①普通年金終值的含義,。

普通年金終值是指其最后一次收付時(shí)的本利和,，它是每次收付的復(fù)利終值之和。

②普通年金終值的計(jì)算,。

設(shè)每年的收付金額為A，利率為i,。

3期普通年金終值F=A×（1+i）2+A×（1+i）+A

期數(shù)為n時(shí)：F=A+A×（1+i）+A×（1+i）2+…+A×（1+i）n-1 （a）

等式兩邊同時(shí)乘以（1+i）：

F×（1+i）=A×（1+i）+A×（1+i）2+A×（1+i）3+…+A×（1+i）n （b）

（b）-（a）：F×（1+i）-F=A×（1+i）n-A

F=A×［（1+i）n-1］/i

式中,，［（1+i）n-1］/i為年金終值系數(shù)，記作（F/A,，i，n）,，即F=A×（F/A，i,，n）,。

（3）普通年金現(xiàn)值,。

①普通年金現(xiàn)值的含義,。

普通年金現(xiàn)值是指為在每期期末收付相等金額的款項(xiàng)，現(xiàn)在需要投入或收取的金額,。

②普通年金現(xiàn)值的計(jì)算。

3期普通年金現(xiàn)值P=A×（1+i）-1+A×（1+i）-2+A×（1+i）-3

期數(shù)為n時(shí)：P=A×（1+i）-1+A×（1+i）-2+A×（1+i）-3+…+A×（1+i）-n （a）

等式兩邊同乘（1+i）：

P×（1+i）=A+A×（1+i）-1+…+A×（1+i）-（n-1） （b）

（b）-（a）：P×（1+i）-P=A-A×（1+i）-n

P=A×［1-（1+i）-n］/i

式中,，［1-（1+i）-n］/i為年金現(xiàn)值系數(shù),，記作（P/A，i,，n），即P=A×（P/A,，i，n）,。

3．預(yù)付年金終值和現(xiàn)值

（1）預(yù)付年金的含義。

預(yù)付年金是指在每期期初收付的年金,，又稱即付年金或期初年金。如下圖所示：

（2）預(yù)付年金終值的計(jì)算,。

求解預(yù)付年金終值有兩種方法：

方法一：預(yù)付年金終值=同期的普通年金終值×（1+i）,。

3期預(yù)付年金終值是0時(shí)點(diǎn)到2時(shí)點(diǎn)的年金在3時(shí)點(diǎn)的終值,。在圖1的基礎(chǔ)上補(bǔ)充0′點(diǎn)，0′到2時(shí)點(diǎn)就可以看成是普通年金,，因此0時(shí)點(diǎn)到2時(shí)點(diǎn)的年金在2時(shí)點(diǎn)的終值即為3期普通年金終值A(chǔ)×（F/A，i,，3）,，其乘以（1+i）就可以折算到3時(shí)點(diǎn)，即為3期的預(yù)付年金終值,，因此3期的預(yù)付年金終值=A×（F/A，i,，3）×（1+i）。

若期數(shù)為n,，預(yù)付年金終值=A×（F/A，i,，n）×（1+i）。

方法二：預(yù)付年金終值=A×［（F/A,，i，n+1）-1］,。

在3時(shí)點(diǎn)補(bǔ)充一個(gè)年金A，0′點(diǎn)到3時(shí)點(diǎn)即為普通年金,，其普通年金終值=A×（F/A，i,，3+1），扣除3時(shí)點(diǎn)多加的年金A,，即為預(yù)付年金終值，因此預(yù)付年金終值=A×（F/A,，i，3+1）-A=A×［（F/A,，i,，3+1）-1］。

若期數(shù)為n,，預(yù)付年金終值=A×［（F/A,，i，n+1）-1］,。

【總結(jié)】預(yù)付年金終值=A×（F/A，i,，n）×（1+i）

或，預(yù)付年金終值=A×［（F/A,，i，n+1）-1］,。

（3）預(yù)付年金現(xiàn)值的計(jì)算。

求解預(yù)付年金現(xiàn)值有兩種方法：

方法一：預(yù)付年金現(xiàn)值=同期的普通年金現(xiàn)值×（1+i）,。

在圖1的基礎(chǔ)上補(bǔ)充0′點(diǎn)，0′到2時(shí)點(diǎn)就可以看成是普通年金,，因此0時(shí)點(diǎn)到2時(shí)點(diǎn)的年金在0′點(diǎn)的現(xiàn)值即為3期普通年金現(xiàn)值A(chǔ)×（P/A，i,，3），其乘以（1+i）就可以折算到0時(shí)點(diǎn),，即為3期的預(yù)付年金現(xiàn)值，因此3期的預(yù)付年金現(xiàn)值=A×（P/A,，i，3）×（1+i）,。

若期數(shù)為n，預(yù)付年金現(xiàn)值=A×（P/A,，i，n）×（1+i）,。

方法二：預(yù)付年金現(xiàn)值=A×［（P/A，i，n-1）+1］,。

先不考慮0時(shí)點(diǎn)的年金A，1時(shí)點(diǎn)到2時(shí)點(diǎn)的年金在0時(shí)點(diǎn)的現(xiàn)值即為2期的普通年金現(xiàn)值

A×（P/A,，i，3-1）,，再加上0時(shí)點(diǎn)的年金A,，即為預(yù)付年金現(xiàn)值,，因此預(yù)付年金現(xiàn)值=A×（P/A，i,，3-1）+A=A×［（P/A，i,，3-1）+1］

若期數(shù)為n,，預(yù)付年金現(xiàn)值=A×［（P/A,，i，n-1）+1］,。

4．遞延年金終值和現(xiàn)值

（1）遞延年金的含義。

遞延年金是指第一次收付發(fā)生在第二期或第二期以后的年金,。如下圖所示：

（2）遞延年金終值的計(jì)算。

遞延年金終值的計(jì)算方法和普通年金終值一樣：

遞延年金終值=A×（F/A,，i，n）

其中,，n為年金A的個(gè)數(shù)。

（3）遞延年金現(xiàn)值的計(jì)算,。

求解遞延年金現(xiàn)值有三種方法：

方法一：先補(bǔ)再扣。

前2年無(wú)收支,，如果我們分別在1,、2時(shí)點(diǎn)補(bǔ)充一個(gè)年金A，就構(gòu)成了6期的普通年金,，此時(shí)年金現(xiàn)值合計(jì)為A×（P/A，i,，2+4），而前2年實(shí)際無(wú)收支A,，所以我們計(jì)算的總期數(shù)多了2期，要扣除前2年的年金現(xiàn)值才是我們求解的遞延年金現(xiàn)值,，即A×（P/A，i,，2+4）-A×（P/A，i,，2）,，其中2為遞延期,，4為連續(xù)收支期,，即A的個(gè)數(shù)。

若遞延期為m,，連續(xù)收支期為n,，遞延年金現(xiàn)值=A×［（P/A，i,，m+n）-（P/A,，i，m）］,。

方法二：先普再折,。

把2時(shí)點(diǎn)看成0′時(shí)點(diǎn)，則遞延年金成了4期的普通年金,，0′時(shí)點(diǎn)現(xiàn)值為A×（P/A，i,，4），也就是2時(shí)點(diǎn)的價(jià)值,，再折算到0時(shí)點(diǎn)即可，則0時(shí)點(diǎn)現(xiàn)值=A×（P/A,，i,，4）×（P/F,，i，2）,。

若遞延期為m，連續(xù)收支期為n,，遞延年金現(xiàn)值=A×（P/A，i,，n）×（P/F，i,，m）。

方法三：先終再現(xiàn),。

如果求解6時(shí)點(diǎn)的終值，將2時(shí)點(diǎn)看成0′時(shí)點(diǎn),，則遞延年金成了4期的普通年金,，6時(shí)點(diǎn)的終值=A×（F/A,，i，4）,，其實(shí)也就是遞延年金的終值，然后折算到0時(shí)點(diǎn)求解現(xiàn)值,，即A×（F/A,，i，4）×（P/F,，i,，2+4）,。

若遞延期為m，連續(xù)收支期為n,，遞延年金現(xiàn)值=A×（F/A，i,，n）×（P/F，i,，m+n）。

5．永續(xù)年金現(xiàn)值

（1）永續(xù)年金的含義,。

永續(xù)年金是指無(wú)限期定額收付的年金,。永續(xù)年金沒(méi)有終止的時(shí)間,，也就沒(méi)有終值。

（2）永續(xù)年金現(xiàn)值的計(jì)算,。

永續(xù)年金的現(xiàn)值可以通過(guò)普通年金現(xiàn)值的計(jì)算公式推導(dǎo)出來(lái)：

P=A×［1-（1+i）-n］/i

當(dāng)n→∞時(shí)，（1+i）-n的極限為0,，故上式可寫成：

P=A/i,。

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